Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2 x - 3}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{2 x - 3}$ в виде ${(2 x - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 2} (2 + 0)$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 2} \cdot 2$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 {(2 x - 3)}^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(2 x - 3)}^{2}}$