Математический анализ Примеры

${(4 x - x^{2})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 4 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - x^{2}$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 - (2 x))$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 {(4 x - x^{2})}^{2} (4 - 2 x)$