Математический анализ Примеры

$e^{3 \ln (x^{2})}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 \ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 \ln (x^{2})$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Этап 2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (x^{2})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $3$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.2

Объединим $\frac{3}{x^{2}}$ и $e^{3 \ln (x^{2})}$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $2$ и $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

Этап 4.4.3

Объединим $\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

Этап 4.4.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

Этап 4.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Этап 4.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Этап 4.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $3 \ln (x^{2})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

Этап 5.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

Этап 5.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

Этап 5.1.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 x^{6}}{x}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{6}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{6 x^{5}}{1}$

Этап 5.2.2.5

Разделим $6 x^{5}$ на $1$ .

$6 x^{5}$