Математический анализ Примеры

${(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 (x^{2} - 1) (2 x)$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (x^{2} - 1) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x^{3} - 4 x$