Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 1$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x)$

Этап 3.4.2

Изменим порядок множителей в $4 \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$4 \cos (2 x) \sin (2 x)$