Математический анализ Примеры

$\tan (\ln (a x + b))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ имеет вид $f' (g (a)) g' (a)$ , где $f (a) = \tan (a)$ и $g (a) = \ln (a x + b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Этап 1.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{a x + b}$ и $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $a x + b$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Этап 3.3

Поскольку $x$ является константой относительно $a$ , производная $a x$ по $a$ равна $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

Этап 3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

Этап 3.6

Поскольку $b$ является константой относительно $a$ , производная $b$ относительно $a$ равна $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

Этап 3.7.2

Объединим $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ и $x$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ .

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$