Математический анализ Примеры

$y = \ln (\ln (x^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{\ln (x^{2})}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})} (2 x)$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})}$ .

$\frac{2}{x^{2} \ln (x^{2})} x$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{2}{x^{2} \ln (x^{2})}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (x^{2})}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2} \ln (x^{2})}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \ln (x^{2})$ .

$\frac{x \cdot 2}{x (x \ln (x^{2}))}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2}{x (x \ln (x^{2}))}$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x \ln (x^{2})}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $\ln (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{2}{x (2 \ln (x))}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x (2 \ln (x))}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (\ln (x))}$