Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{2} e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}}$ и $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 5.2.5

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Этап 5.2.6

Объединим $2$ и $\frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Этап 5.2.7

Объединим $\frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ и $x$ .

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{2}{x}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{x} + 1$