Математический анализ Примеры

$y = e^{7 x^{2}} + x$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{7 x^{2}} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{7 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{7 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 7 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x^{2}$ .

$e^{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{7 x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{7 x^{2}} (7 (2 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $7$ .

$e^{7 x^{2}} (14 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{7 x^{2}} (14 x) + 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$14 e^{7 x^{2}} x + 1$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $14 e^{7 x^{2}} x + 1$ .

$14 x e^{7 x^{2}} + 1$