Математический анализ Примеры

$\sin (\tan (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\cos (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\cos (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cos (\tan (x))$

Этап 3.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (\tan (x))$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (\tan (x))$

Этап 3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (\tan (x))$

Этап 3.5

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ и $\cos (\tan (x))$ .

$\frac{\cos (\tan (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (\tan (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 3.7

Разделим дроби.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\tan (x))}{\cos (x)}$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{\cos (\tan (x))}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 3.9

Запишем $\cos (\tan (x))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\cos (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Разделим $\cos (\tan (x))$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 3.10.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (\tan (x)) \sec (x))$

Этап 3.11

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) (\cos (\tan (x)) \sec (x))$

Этап 3.12

Умножим $\sec (x) (\cos (\tan (x)) \sec (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \cos (\tan (x))$

Этап 3.12.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \cos (\tan (x))$

Этап 3.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 1} \cos (\tan (x))$

Этап 3.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) \cos (\tan (x))$