Математический анализ Примеры

$\ln (\cos (2 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Этап 4.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Этап 5.2

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$- 2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Этап 5.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Этап 5.5

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{2}{\cos (2 x)}$ .

$- \frac{\sin (2 x) \cdot 2}{\cos (2 x)}$

Этап 5.6

Перенесем $2$ влево от $\sin (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Этап 5.7

Разделим дроби.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})$

Этап 5.8

Переведем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в $\tan (2 x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (2 x))$

Этап 5.9

Разделим $2$ на $1$ .

$- (2 \tan (2 x))$

Этап 5.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \tan (2 x)$