Математический анализ Примеры

$x^{e^{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{e^{x}}$ в виде $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{e^{x}})$ , вынося $e^{x}$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x} \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 5

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $e^{e^{x} \ln (x)}$ и $\frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Этап 7.2.3

Умножим $e^{e^{x} \ln (x)}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x} e^{e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Этап 7.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Этап 7.2.4

Чтобы записать $e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Этап 7.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$