Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = a x + b$ и $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $a x + b$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.6

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $c x + d$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c x$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $c$ на $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $d$ является константой относительно $x$ , производная $d$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 2.12

Добавим $c$ и $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 3.4

Объединим противоположные члены в $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в членах $c x a$ и $- (a x) c$ .

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $a c x$ из $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $d a$ и $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$