Математический анализ Примеры

$x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2} = 6$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 2.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y y')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 8 y y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Этап 3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' + 8 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $8 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2}) + y' (8 y)$ .

$y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ на $x^{2} + 8 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ на $x^{2} + 8 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перепишем $- (3 x + 2 y)$ в виде $- 1 (3 x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$