Математический анализ Примеры

$\sin (x + y) = x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Этап 5.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = x y' + y$

Этап 5.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Умножим $\cos (x + y)$ на $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = x y' + y$

Этап 5.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = x y' + y$

Этап 5.2

Вычтем $x y'$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - x y' = y$

Этап 5.3

Вычтем $\cos (x + y)$ из обеих частей уравнения.

$y' \cos (x + y) - x y' = y - \cos (x + y)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x + y) - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) - x y' = y - \cos (x + y)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' (- x) = y - \cos (x + y)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (\cos (x + y)) + y' (- x)$ .

$y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ на $\cos (x + y) - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ на $\cos (x + y) - x$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x + y) - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Этап 5.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$