Математический анализ Примеры

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 2.5

Объединим $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ и $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.2

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.3

Перенесем $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.4

Изменим порядок $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ и $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(1 + y') y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Изменим порядок $y^{2}$ и $y' y^{2}$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y' y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ из обеих частей уравнения.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Этап 5.3.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Этап 5.3.5

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Этап 5.3.6

Разделим каждый член $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ на $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Разделим каждый член $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ на $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Сократим общий множитель $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ .

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3.2.2

Перепишем $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ в виде $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

Этап 5.3.6.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

Этап 5.3.6.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Этап 5.3.6.3.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.3.4.1

Перепишем $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ в виде $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Этап 5.3.6.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$