Математический анализ Примеры

$5 y^{2} = \frac{4 x - 3}{4 x + 3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x - 3}{4 x + 3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$10 y y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x - 3$ и $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $4 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 3) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.12.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим противоположные члены в $4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вычтем $4 (4 x)$ из $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2

Добавим $4 \cdot 3$ и $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$\frac{12 + 12}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Добавим $12$ и $12$ .

$\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5

Разделим каждый член $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ на $10 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ на $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{10 y}$

Этап 5.3.2

Объединим.

$y' = \frac{24 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $24$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $24 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из ${(4 x + 3)}^{2} (10 y)$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{12 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (5 y)}$

Этап 5.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $12$ на $1$ .

$y' = \frac{12}{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 5 y}$

Этап 5.3.4.2

Перенесем $5$ влево от ${(4 x + 3)}^{2}$ .

$y' = \frac{12}{5 \cdot {(4 x + 3)}^{2} y}$

Этап 5.3.4.3

Изменим порядок множителей в $\frac{12}{5 {(4 x + 3)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$