Математический анализ Примеры

$3 x y - x^{2} - 4 = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 x y - x^{2} - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x y - x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x y') + 3 y - 2 x + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3 x y' + 3 y - 2 x$ и $0$ .

$3 x y' + 3 y - 2 x$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$3 x y' - 2 x + 3 y$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x y' - 2 x + 3 y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$3 x y' + 3 y = 2 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$3 x y' = 2 x - 3 y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x y' = 2 x - 3 y$ на $3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x y' = 2 x - 3 y$ на $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y$ .

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$