Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} = 2 x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 (x y' + y)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x y' + 2 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x = 2 x y' + 2 y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x y'$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' + 2 x - 2 x y' = 2 y$

Этап 5.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' - 2 x y' = 2 y - 2 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' - 2 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' y - 2 x y' = 2 y - 2 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 x y'$ .

$2 y' y + 2 y' (- x) = 2 y - 2 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y + 2 y' (- x)$ .

$2 y' (y - x) = 2 y - 2 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 y' (y - x) = 2 y - 2 x$ на $2 (y - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 y' (y - x) = 2 y - 2 x$ на $2 (y - x)$ .

$\frac{2 y' (y - x)}{2 (y - x)} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y - x)}{2 (y - x)} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y}{2 (y - x)} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{- 2 x}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{2 (- x)}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{2 (- x)}{2 (y - x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{y - x} + \frac{- x}{y - x}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{y - x} - \frac{x}{y - x}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y - x}{y - x}$

Этап 5.4.3.2.2

Сократим общий множитель $y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y - x}{y - x}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = 1$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1$