Математический анализ Примеры

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ и $g (x) = 10 x^{3} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.6

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $10 x^{3} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.8

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{3}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.10

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.11

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + 0)$

Этап 3.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $30 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2})$

Этап 3.12.2

Объединим $30$ и $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Этап 3.12.3

Умножим $3$ на $30$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Этап 3.12.4

Объединим $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Этап 3.12.5

Вынесем множитель $2$ из $90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Этап 3.13.4

Разделим $45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ на $1$ .

$45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Этап 3.14

Изменим порядок множителей в $45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$