Математический анализ Примеры

$x y = \cot (x y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\cot (x y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y)$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + y = - x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$ .

$x y' + y = - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y)$

Этап 5.2

Добавим $x y' \csc^{2} (x y)$ к обеим частям уравнения.

$x y' + y + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y)$

Этап 5.3

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Этап 5.4

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' + x y' \csc^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x y'$ из $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Этап 5.5

Разделим каждый член $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ на $x (1 + \csc^{2} (x y))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ на $x (1 + \csc^{2} (x y))$ .

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $1 + \csc^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Этап 5.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$