Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$2 + 3 - 12 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$2 + 3 - 12$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $2$ и $3$ .

$5 - 12$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $12$ из $5$ .

$- 7$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$- 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $3$ на $4$ .

$- 16 + 12 - 12 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$- 16 + 12 + 24$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 16$ и $12$ .

$- 4 + 24$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 4$ и $24$ .

$20$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, - 7), (- 2, 20)$

Этап 5