Математический анализ Примеры

$y = 25 - x^{2}$ , $[- 5, 5]$

Этап 1

Запишем $y = 25 - x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = 25 - x^{2}$

Этап 2

Найдем производную $f (x) = 25 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $25 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.1.2

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.1.3

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x$ .

$- 2 x$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 5, 5]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 5

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 6

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (\int_{- 5}^{5} - 2 x d x)$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \int_{- 5}^{5} x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{5}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{5}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 9.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 9.2.2.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{25}{2}))$

Этап 9.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{25 - 25}{2})$

Этап 9.2.2.4

Вычтем $25$ из $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{2}))$

Этап 9.2.2.5

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 (0)}{2})$

Этап 9.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{1}))$

Этап 9.2.2.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \cdot 0)$

Этап 9.2.2.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (0)$

Этап 10

Добавим $5$ и $5$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 0$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{10}$ на $0$ .

$A (x) = 0$

Этап 12