Математический анализ Примеры

y = 25 - x^{2}

$y = 25 - x^{2}$ ,

[- 5, 5]

$[- 5, 5]$

Этап 1

Запишем

y = 25 - x^{2}

$y = 25 - x^{2}$ в виде функции.

f (x) = 25 - x^{2}

$f (x) = 25 - x^{2}$

Этап 2

Найдем производную

f (x) = 25 - x^{2}

$f (x) = 25 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная

25 - x^{2}

$25 - x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.1.2

Поскольку

25

$25$ является константой относительно

x

$x$ , производная

25

$25$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- x^{2}

$- x^{2}$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

0 - (2 x)

$0 - (2 x)$

Этап 2.1.2.3

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

0 - 2 x

$0 - 2 x$

0 - 2 x

$0 - 2 x$

Этап 2.1.3

Вычтем

2 x

$2 x$ из

0

$0$ .

f' (x) = - 2 x

$f' (x) = - 2 x$

f' (x) = - 2 x

$f' (x) = - 2 x$

Этап 2.2

Первая производная

f (x)

$f (x)$ по

x

$x$ равна

- 2 x

$- 2 x$ .

- 2 x

$- 2 x$

- 2 x

$- 2 x$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области

$[- 5, 5]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 5

Среднее значение функции

$f'$ на интервале

$[a, b]$ определяется как

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 6

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (\int_{- 5}^{5} - 2 x d x)$

Этап 7

Поскольку

$- 2$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \int_{- 5}^{5} x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл

$x$ по

$x$ имеет вид

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{5}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{5}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение

$\frac{x^{2}}{2}$ в

$5$ и в

$- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 9.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем

$5$ в степень

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 9.2.2.2

Возведем

$- 5$ в степень

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{25}{2}))$

Этап 9.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{25 - 25}{2})$

Этап 9.2.2.4

Вычтем

$25$ из

$25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{2}))$

Этап 9.2.2.5

Сократим общий множитель

$0$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.1

Вынесем множитель

$2$ из

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 (0)}{2})$

Этап 9.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{1}))$

Этап 9.2.2.5.2.4

Разделим

$0$ на

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \cdot 0)$

Этап 9.2.2.6

Умножим

$- 2$ на

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (0)$

Этап 10

Добавим

$5$ и

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 0$

Этап 11

Умножим

$\frac{1}{10}$ на

$0$ .

$A (x) = 0$

Этап 12