Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Этап 1.3

Разделим $1$ на $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

Этап 3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $e^{u}$ в $\frac{1}{2}$ и в $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

Этап 4.2

Упростим.

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

Этап 5.2

Умножим $- - e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

Этап 5.2.2

Умножим $e$ на $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Десятичная форма:

$1.06956055 \dots$

Этап 7