Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{8} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\ln (8)} u d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\ln (8)}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $\ln (8)$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \ln^{2} (8)) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln^{2} (8)$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 3.2.3

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.4

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0$

Этап 3.2.5

Добавим $\frac{\ln^{2} (8)}{2}$ и $0$ .

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

Десятичная форма:

$2.16203856 \dots$