Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 2 u^{2} + 3 d u$ udu

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 2 u^{2} d u + \int_{1}^{2} 3 d u$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{2} u^{2} d u + \int_{1}^{2} 3 d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 d u$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 d u$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 3 u]_{1}^{2}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 3 u]_{1}^{2}$

Этап 6.2

Найдем значение $3 u$ в $2$ и в $1$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{8 - 1}{3} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$2 (\frac{7}{3}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3.5

Объединим $2$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3.6

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14}{3} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{14}{3} + 6 - 3 \cdot 1$

Этап 6.3.8

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{14}{3} + 6 - 3$

Этап 6.3.9

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{14}{3} + 3$

Этап 6.3.10

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.3.11

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 6.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 6.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.13.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{14 + 9}{3}$

Этап 6.3.13.2

Добавим $14$ и $9$ .

$\frac{23}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{23}{3}$

Десятичная форма:

$7.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$7 \frac{2}{3}$

Этап 8