Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Этап 1

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Этап 3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 1$ и в $0$ .

$- ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (e^{- 1} - 1)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{e} - 1)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{e} - - 1$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{e} + 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{e} + 1$

Десятичная форма:

$0.63212055 \dots$

Этап 7