Математический анализ Примеры

$\int 4 e^{2 x} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int e^{2 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Этап 7

Упростим.

$2 e^{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 e^{2 x} + C$