Математический анализ Примеры

$\int 6 e^{- 7 x} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int e^{- 7 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = - 7 x$ . Тогда $d u = - 7 d x$ , следовательно $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 7$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{7}$ .

$6 \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$- 6 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $- 6$ .

$\frac{- 6}{7} \int e^{u} d u$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{7} \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{6}{7} (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

$- \frac{6}{7} e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x$ .

$- \frac{6}{7} e^{- 7 x} + C$