Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{4} 16 - x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $16 x$ в $4$ и в $- 4$ .

$(16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 4$ .

$16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $16$ на $4$ .

$64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 16$ на $- 4$ .

$64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.3

Добавим $64$ и $64$ .

$128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.5

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3})$

Этап 5.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$128 - (\frac{64}{3} - - \frac{64}{3})$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3}))$

Этап 5.2.3.8

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3})$

Этап 5.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$128 - \frac{64 + 64}{3}$

Этап 5.2.3.10

Добавим $64$ и $64$ .

$128 - \frac{128}{3}$

Этап 5.2.3.11

Чтобы записать $128$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3}$

Этап 5.2.3.12

Объединим $128$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3}$

Этап 5.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{128 \cdot 3 - 128}{3}$

Этап 5.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.14.1

Умножим $128$ на $3$ .

$\frac{384 - 128}{3}$

Этап 5.2.3.14.2

Вычтем $128$ из $384$ .

$\frac{256}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{256}{3}$

Десятичная форма:

$85.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$85 \frac{1}{3}$

Этап 7