Математический анализ Примеры

$\int y^{2} \sqrt{y} d y$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{2} y^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2 + \frac{1}{2}} d y$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d y$

Этап 1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} d y$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int y^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} d y$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int y^{\frac{4 + 1}{2}} d y$

Этап 1.2.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\int y^{\frac{5}{2}} d y$

Этап 2

По правилу степени интеграл $y^{\frac{5}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C$