Математический анализ Примеры

$\int x^{9} e^{x^{10}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ в виде ${u_{1}}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{8}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int {u_{1}}^{\frac{4}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ в виде ${u_{1}}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $10$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4}}{2} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{4}}{2}$ и $e^{{u_{1}}^{5}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}}}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Тогда $d u_{2} = 5 {u_{1}}^{4} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{2} = {u_{1}}^{4} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Этап 5

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{1}{10} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{10} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{10} e^{u_{2}} + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{5}$ .

$\frac{1}{10} e^{{u_{1}}^{5}} + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{10} e^{{(x^{2})}^{5}} + C$