Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл x^2sin(3x) по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Умножим на .
Этап 4.2
Объединим и .
Этап 4.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.4
Умножим на .
Этап 4.5
Умножим на .
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Объединим и .
Этап 6.2
Объединим и .
Этап 6.3
Объединим и .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.1
Дифференцируем .
Этап 8.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 8.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 8.1.4
Умножим на .
Этап 8.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 9
Объединим и .
Этап 10
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Умножим на .
Этап 11.2
Умножим на .
Этап 12
Интеграл по имеет вид .
Этап 13
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Перепишем в виде .
Этап 13.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 13.2.2
Объединим и .
Этап 13.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 13.2.4
Объединим и .
Этап 13.2.5
Умножим на .
Этап 13.2.6
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.2.6.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.2.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 13.2.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 13.2.6.2.4
Разделим на .
Этап 14
Заменим все вхождения на .
Этап 15
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 15.1.2
Объединим и .
Этап 15.1.3
Объединим и .
Этап 15.1.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 15.1.5
Объединим и .
Этап 15.1.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 15.1.7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 15.1.8
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1.8.1
Умножим на .
Этап 15.1.8.2
Умножим на .
Этап 15.1.9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 15.1.10
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1.10.1
Умножим на .
Этап 15.1.10.2
Умножим на .
Этап 15.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 15.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.3.1
Умножим на .
Этап 15.3.2
Умножим на .
Этап 15.4
Изменим порядок членов.