Математический анализ Примеры

$\int x^{2} e^{- 3 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{- 3 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{3} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{3} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Этап 4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Этап 4.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Этап 6.3

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 8.2

Умножим $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

Этап 10

Пусть $u = - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

Этап 11.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Этап 14.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Этап 15

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перепишем $- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ в виде $- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 16.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 16.2.2

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{x^{2}}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 16.2.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 16.2.4

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 16.2.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Этап 16.2.6

Чтобы записать $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Этап 16.2.7

Объединим $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 16.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 16.2.9

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Этап 16.2.10

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{6}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Этап 16.2.11

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Этап 16.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Этап 16.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Этап 16.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Этап 16.2.11.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Этап 17

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{3} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} (- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x})) + C$