Математический анализ Примеры

$\int x^{2} e^{5 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{5 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{5 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int e^{5 x} (x) d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{5}$ и $2$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} \int e^{5 x} (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))$

Этап 8

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)$

Этап 9

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)$

Этап 11.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$ в виде $\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{5} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

Этап 13.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{5}$ и $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

Этап 13.2.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x}{5} e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

Этап 13.2.4

Объединим $\frac{x}{5}$ и $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

Этап 13.2.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{25}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) + C$

Этап 13.2.6

Чтобы записать $- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Этап 13.2.7

Объединим $- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

Этап 13.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

Этап 13.2.9

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 13.2.10

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 13.2.11

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 10}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 13.2.12

Сократим общий множитель $- 10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.12.1

Вынесем множитель $5$ из $- 10$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 13.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.12.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 13.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 13.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 13.2.12.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25})}{5} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} (x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{5 x})) + C$