Математический анализ Примеры

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

Этап 1

Изменим порядок $e^{- x}$ и $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (2 x)$ и $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Этап 3

Поскольку $- - 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- - 2$ из-под знака интеграла.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- x}$ и $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (2 x)$ и $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1 \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1 \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Этап 7

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Этап 7.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 7.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

Этап 8

Найдя решение для $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ , получим $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ в виде $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- \cos (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Этап 9.2.1.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

Этап 9.2.1.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \sin (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Этап 9.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Этап 9.2.5

Перепишем $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ в виде $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Этап 9.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$