Математический анализ Примеры

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\tan^{2} (x)$ за скобки.

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

Этап 3

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

Этап 4

Умножим $u^{2} (- 1 + u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $- 1$ влево от $u^{2}$ .

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.2

Перепишем $- 1 u^{2}$ в виде $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.3

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 5.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 10.2

Упростим.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$