Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл sin(3x)^2 по x
Этап 1
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Дифференцируем .
Этап 1.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.4
Умножим на .
Этап 1.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 5
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Умножим на .
Этап 6.2
Умножим на .
Этап 7
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 8
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Дифференцируем .
Этап 10.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 10.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 10.1.4
Умножим на .
Этап 10.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 11
Объединим и .
Этап 12
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 13
Интеграл по имеет вид .
Этап 14
Упростим.
Этап 15
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Заменим все вхождения на .
Этап 15.2
Заменим все вхождения на .
Этап 15.3
Заменим все вхождения на .
Этап 16
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1.1
Умножим на .
Этап 16.1.2
Объединим и .
Этап 16.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 16.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 16.3.3
Сократим общий множитель.
Этап 16.3.4
Перепишем это выражение.
Этап 16.4
Объединим и .
Этап 16.5
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.5.1
Умножим на .
Этап 16.5.2
Умножим на .
Этап 17
Изменим порядок членов.