Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл ( квадратный корень из x^2-4)/x по x
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.5
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.6
Перепишем в виде .
Этап 2.1.7
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3
Возведем в степень .
Этап 4
Возведем в степень .
Этап 5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6
Добавим и .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 9
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 10
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 11
Поскольку производная равна , интеграл равен .
Этап 12
Упростим.
Этап 13
Заменим все вхождения на .
Этап 14
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1.1
Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках , и начале координат. Тогда  — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку . Следовательно, равно .
Этап 14.1.2
Перепишем в виде .
Этап 14.1.3
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 14.1.4
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 14.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 14.1.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 14.1.7
Объединим и .
Этап 14.1.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 14.1.9
Умножим на .
Этап 14.1.10
Умножим на .
Этап 14.1.11
Умножим на .
Этап 14.1.12
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1.12.1
Вынесем полную степень из .
Этап 14.1.12.2
Вынесем полную степень из .
Этап 14.1.12.3
Перегруппируем дробь .
Этап 14.1.13
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 14.1.14
Объединим и .
Этап 14.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 14.3
Объединим и .
Этап 14.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 14.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 14.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 14.6
Умножим на .
Этап 15
Изменим порядок членов.