Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 3 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $3 \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3 \tan (t)$ из $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \sec (t) d t$

Этап 3

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{3})) + \tan (arcsec (\frac{x}{3})) |) + C$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) |) + C$