Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $4$ из $1 + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + x^{2})} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + x^{2}} d x$

Этап 3

Перепишем $\frac{1}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 5.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (x \cdot 2) + C)$

Этап 5.1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 x) + C$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 x) + C$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$