Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Этап 1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Этап 2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Этап 3

Умножить аргумент на $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 4.2

Умножим ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ на $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Этап 5.2

Умножим ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ на $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Выразим $\sec (\frac{x}{2})$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 6.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 6.3

Единица в любой степени равна единице.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 6.4

Выразим $\sec (\frac{x}{2})$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Этап 6.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 6.6

Единица в любой степени равна единице.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 6.7

Сократим общий множитель $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $\cos (\frac{x}{2})$ из $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 6.7.2

Вынесем множитель $\cos (\frac{x}{2})$ из $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 6.7.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 6.7.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 6.8

Объединим $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ и $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Этап 6.9

Объединим $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 6.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ в $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 8

Переведем $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ в $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Этап 9

Преобразуем $\sec^{2} (x)$ в $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Этап 10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Этап 11

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Переставляем члены.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 11.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 11.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Этап 11.4

Перепишем многочлен.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 11.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Этап 12

Пусть $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 12.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 12.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Этап 13.3

Объединим $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ и $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Этап 13.4

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Этап 14

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Этап 15

Пусть $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Пусть $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Дифференцируем $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Этап 15.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - \tan (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Этап 15.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Этап 15.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- \tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Этап 15.1.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Этап 15.1.4

Вычтем $\sec^{2} (u_{1})$ из $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Этап 15.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 17

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 18

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 18.2

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 18.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 18.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 19

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перепишем $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ в виде $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Этап 20.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Этап 20.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Этап 21

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Этап 21.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Этап 22

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$