Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \ln (x^{4})} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{x \ln (x^{4})}$ в виде $\frac{1}{x (4 \ln (x))}$ .

$\int \frac{1}{x (4 \ln (x))} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \ln (x) |) + C$