Математический анализ Примеры

$y = \tan (x)$

Этап 1

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 2.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan (x))$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{2} (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

Этап 3.4

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

Этап 3.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot (\tan (x) \sec (x)) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 3.7

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.9

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.12

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

Этап 3.13

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

Этап 3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Этап 3.15

Добавим $1$ и $1$ .

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 3.16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 3.16.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$f^{4} (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.2

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.7

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.7.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.8

Перенесем $2$ влево от $\sec^{4} (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \cdot (\sec^{4} (x) \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.9

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.10

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.13

Умножим $\tan^{2} (x)$ на $\tan (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.13.1

Перенесем $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.13.2

Умножим $\tan (x)$ на $\tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.13.2.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.13.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.2.14

Перенесем $2$ влево от $\tan^{3} (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{4} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sec^{4} (x))$

Этап 4.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 4.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 4.3.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 4.3.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

Этап 4.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $3$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

Этап 4.3.7

Умножим $4$ на $2$ .

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f^{4} (x) = 8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 4.4.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f^{4} (x) = 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Этап 4.4.2.3

Добавим $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ и $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$