Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

Этап 8.3

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Этап 10.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$