Математический анализ Примеры

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

Этап 1

Пусть $u = t^{6} + 5 t$ . Тогда $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ , следовательно $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = t^{6} + 5 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $t^{6} + 5 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$6 t^{5} + 5$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$