Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{u}}{{(1 - e^{u})}^{2}} d u$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 1 - e^{u}$ . Тогда $d u_{1} = - e^{u} d u$ , следовательно $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 1 - e^{u}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - e^{u}$ .

$\frac{d}{d u} [1 - e^{u}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - e^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u$ , производная $- e^{u}$ по $u$ равна $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 - e^{u}$

Этап 1.1.4

Вычтем $e^{u}$ из $0$ .

$- e^{u}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Этап 5

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ в виде $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - e^{u}$ .

$\frac{1}{1 - e^{u}} + C$