Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{7} 2 {(- 2)}^{n - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 1 - 1}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ и ${(- 2)}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(- 2)}^{n - 1}$ из ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $n$ и $0$ .

$r = {(- 2)}^{n - (n - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- 2)}^{n - n - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- 2)}^{n - n + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = {(- 2)}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- 2)}^{1}$

Этап 2.2.7

Найдем экспоненту.

$r = - 2$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $n$ в $2 {(- 2)}^{n - 1}$ .

$a = 2 {(- 2)}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 2 {(- 2)}^{0}$

Этап 3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 2 \cdot 1$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$a = 2$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$2 \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - - 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $7$ .

$2 \frac{1 - - 128}{1 - - 2}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 128$ .

$2 \frac{1 + 128}{1 - - 2}$

Этап 5.1.3

Добавим $1$ и $128$ .

$2 \frac{129}{1 - - 2}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{129}{1 + 2}$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$2 (\frac{129}{3})$

Этап 5.3

Разделим $129$ на $3$ .

$2 \cdot 43$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $43$ .

$86$