Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

Этап 1.3.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x \cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.2.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.2

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \sin (x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - 2 \sin (x)$

Этап 3.4.2

Вычтем $2 \sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x \cos (x) - 3 \sin (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- x \cos (x) - 3 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 4.2.2

$f^{4} (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 4.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 4.2.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sin (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 4.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \cos (x)$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Этап 4.4.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Этап 4.4.2.3

Вычтем $3 \cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - 4 \cos (x)$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $x \sin (x) - 4 \cos (x)$ .

$x \sin (x) - 4 \cos (x)$