Математический анализ Примеры

$y = \sin (x + y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \cos (x + y) (1 + y')$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Этап 5.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Умножим $\cos (x + y)$ на $1$ .

$y' = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Этап 5.1.1.2.2

Изменим порядок множителей в $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$y' = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Этап 5.2

Вычтем $y' \cos (x + y)$ из обеих частей уравнения.

$y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' - y' \cos (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \cos (x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (1 - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Этап 5.4

Перепишем $- 1 \cos (x + y)$ в виде $- \cos (x + y)$ .

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ на $1 - \cos (x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ на $1 - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $1 - \cos (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$